Considérons un système physique qui obéit aux lois de la mécanique classique. Précisons que, petit détail souvent non-précisé, les frottements sont négligeables. Ce sont des conditions qui s'appliquent bien à l'étude des chocs élastiques et aux problèmes de gravitation, entre autres. Les lois de la mécanique sont alors basées sur des principes de conservation : l'énergie, la quantité de mouvement et le moment cinétique restent invariables, donc indépendantes du temps. Les lois qui en découlent utilisent le temps comme un paramètre dont le signe n'a pas d'importance. L'évolution d'un système mécanique sans frottements est symétrique par rapport au renversement du temps.
On observe ceci dans le cas d'un choc élastique entre deux billes dans un plan( genre billard, mais sans roulement).
En prenant plus de boules, on aborde la simulation du mouvement des atomes dans un gaz. Deux simulations permettent de tester l'inversion du temps :
Mélange de deux gaz, un exemple de diffusion gazeuse.
Passage d'une situation ordonnée au désordre ou la simulation de la vaporisation d'un petit cristal après un choc.
Il y a les approximations de calculs, imposées dans notre simulation par la représentation numérique utilisée pour les calculs. Avec 18 chiffres significatifs, on a un arrondi sur les distances plus petit que la taille des particules élémentaires. Mais même avec cette précision, l'évolution d'un système n'est pas réversible après une dizaine de secondes.
Le pas de calcul est aussi un élément important d'approximation. Le temps du modèle n'est pas continu, mais procède par sauts. En augmentant les étapes de calculs, on améliore la précision. Une autre approche consisterait à recalculer la position et le temps exacts des chocs et estimer l'évolution à cet instant.
La difficulté fondamentale est que si même je connais les positions et les vitesses initiales exactes de chaques particules, dès le premier choc, je perd cette exactitude. Le calcul passe par des équations transcendentales (sinus et cosinus) dont les solutions ne peuvent être exprimées de manière exactes pour la suite du calcul. Et ceci se reproduit à chaque choc. La physique me donne bien des lois représentant une conservation des grandeurs de bases, mais la mathématique ne me donne pas le moyens d'utiliser valablement cette connaissance. L'évolution d'un tel système de chocs n'est pas calculable. Si les lois de la physique me permettent de déterminer certaines grandeurs comme la température, le volume, l'énergie, etc., la mathématique me limite dans la détermination de la position et la vitesse des particules. Un exemple de plus desystème sensible aux conditions initiales.
Le déterminisme n'est pas mort avec la mécanique quantique. L'impossibilté de la prévision de systèmes simples existait déjà avec la mécanique classique. Les chocs ne sont qu'un exemple parmi d'autres. Citons en particulier le problème de la gravitation à plus de deux corps.
Terminons en remarquant que l'ironie du choix de l'horloge comme symbole d'un univers déterminimé, quand on pense au génie et à l'art qu'il a fallu aux horloger pour que deux montres veuillent bien indiquer la même heure.